Ejemplos Intermedios de Derivadas Trigonométricas

Estos problemas requieren aplicar reglas de derivación combinadas con funciones trigonométricas: producto, cociente y cadena.

Problema 1

Función: f(x) = x² · sin(x)

Regla aplicada: Producto → (u·v)' = u'·v + u·v'
u = x² → u' = 2x
v = sin(x) → v' = cos(x)
Sustitución: f'(x) = 2x·sin(x) + x²·cos(x)

Resultado final: f'(x) = 2x·sin(x) + x²·cos(x)

Problema 2

Función: f(x) = cos(x) / x

Regla aplicada: Cociente → (u/v)' = (u'·v - u·v') / v²
u = cos(x) → u' = -sin(x)
v = x → v' = 1
Sustitución:
f'(x) = (-sin(x)·x - cos(x)·1) / x²
Simplificación: f'(x) = (-x·sin(x) - cos(x)) / x²

Resultado final: f'(x) = (-x·sin(x) - cos(x)) / x²

Problema 3

Función: f(x) = sin²(x) (también escrita como (sin(x))²)

Regla aplicada: Cadena → d/dx[u²] = 2u·u', donde u = sin(x)
u = sin(x) → u' = cos(x)
Sustitución: f'(x) = 2·sin(x)·cos(x)

Resultado final: f'(x) = 2·sin(x)·cos(x)

Problema 4

Función: f(x) = sec(x)·tan(x)

Regla aplicada: Producto → (u·v)' = u'·v + u·v'
u = sec(x) → u' = sec(x)·tan(x)
v = tan(x) → v' = sec²(x)
Sustitución:
f'(x) = sec(x)·tan²(x) + sec(x)·sec²(x)
Factor común: f'(x) = sec(x)[tan²(x) + sec²(x)]

Resultado final: f'(x) = sec(x)[tan²(x) + sec²(x)]

Problema 5

Función: f(x) = x·cos²(x)

Paso 1: Aplicamos la regla del producto con u = x y v = cos²(x)
v = (cos(x))² → v' = 2·cos(x)·(-sin(x)) = -2·cos(x)·sin(x)
Derivada: f'(x) = 1·cos²(x) + x·(-2cos(x)·sin(x))
Simplificación: f'(x) = cos²(x) - 2x·cos(x)·sin(x)

Resultado final: f'(x) = cos²(x) - 2x·cos(x)·sin(x)